Some of Good Linear Algebra Proofs

Jika $A$ Bebas Linear $A^TA$ Memiliki Inverse

Misalkan A merupakan sebuah matriks berukuran $n \times m$ yang bebas linear. Misalkan kolom kolom dari A dapat ditulis sebagai $\vec{c}_1, \vec{c}_2, \dots, \vec{c}_m$ .

Apabila kolom-kolomnya bebas linear, maka satu satunya solusi untuk persamaan $k_1\vec{c}_1 + k_1\vec{c}_2 + \dots + k_m\vec{c}_m = 0$, ialah $\vec{0} \in \mathbb{R}^m$.

Sehingga, dapat dikatakan pula satu-satunya solusi untuk $A\vec{x} = \vec{0}$ ialah ${\vec{0}}$.

Yang artinya, Null(A) = ${\vec{0}}$.

Mari kita pertimbangkan persamaan $A^TA$, yang merupakan matriks persegi berukuran $m \times m$. Selanjutnya perhatikan bahwa apabila matriks persegi tersebut kolom-kolomnya bebas linear, maka determinannya tidak nol dan apabila bentuk ebt tereduksinya ialah matriks identitas dan memiliki m buah satu utama.

Selanjutnya misalkan kita memiliki sebuah vektor $\vec{v} \in \text{Null}(A^TA)$ . Artinya $A^TA\vec{v}$, sama dengan $\vec{0}$. Selanjutnya apabila jika kedua sisi dikalikan dengan $\vec{v}$, dapat dibuat persamaan sebagai berikut.

\[\begin{aligned} A^TA\vec{v} &= \vec{0}\\ \vec{v}^TA^TA\vec{v} &= \vec{v}^T \vec{0} \\ (A\vec{v})^T(A\vec{v}) &= \vec{0}\end{aligned}\]

Perhatikan bahwa perkalian ini valid karena berdasarkan definisi, ukuran matriks tersebut dapat dilakukan perkalian.

Perhatikan pula bahwa kini kedua sisi merupakan vektor pada R, yang secara esensial sebenarnya merupakan bilangan real.

Perhatikan bahwa $A\vec{v}$ merupakan sebuah vektor kolom. Misalkan $\vec{u} = A\vec{v}$ maka dapat ditulis sebagai $u_1^2 + u_2^2 + \dots u_m^2=0$, hanya benar bila $\vec{u} = \vec{0}$, kini, kita tahu bahwa apabila $A^TA\vec{v} = 0 \implies A\vec{v} = 0$. Artinya, bila $\vec{v} \in \text{Null}(A^TA) \implies \vec{v} \in \text{Null}(A)$, yang artinya bila sudah diketahui ruang Null dari A = ${\vec{0}}$, maka $\vec{v} = \vec{0}$. artinya, $A^TA$ bebas linear. Karena $A^TA$ merupakan matriks persegi, maka $A^TA$ memiliki invers.